Нахождение определителя матрицы методом треугольника

Определитель матрицы онлайн треугольником

Нахождение определителя матрицы методом треугольника

Используя форму ввода в панели CAS можно решить многие задачи алгебраического и геометрического характера.

Матрицы. Виды матриц –

Используя форму ввода в панели CAS можно решить многие задачи алгебраического и геометрического характера.

Например, можно выполнить простейшие действия с алгебраическими выражениями, произвести вычисления с векторами, совершить операции над матрицами, решать уравнения и системы уравнений и многое другое.

Все инструменты в панели CAS (горизонтальное меню сверху при активации панели CAS) описаны (пока справка только англоязычная), а команды, которые можно использовать при работе в этом режиме, лучше посмотреть в списке всех команд CAS.

Команды набираются в форме панели CAS на русском языке в соответствии с требованиями протокола соответствующей команды, этот протокол также высвечивается в названной выше справке.

Вычисление определителя методом понижения порядка онлайн

Многоугольник — это замкнутая геометрическая фигура, образованная последовательно соединёнными отрезками .

То есть многоугольник представляет собой область, ограниченную замкнутой ломаной линией.

  • Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.
  • Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д., с n вершинами — n-угольником.
  • Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
  • Используя этот онлайн калькулятор для вычисления определителя (детерминанта) матриц, вы сможете очень просто и быстро найти определитель (детерминант) матрицы.
  • Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления определителя (детерминанта) матриц, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на транспонирование матриц, а также закрепить пройденный материал.

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

Определитель матрицы `M` обозначается как `det M` (или `Delta M` или `|M|`).

Определитель матрицы методом треугольника Мозган

Если матрица выписана в полной форме, то слева и справа она обрамляется вертикальной чертой, чтобы показать, что мы желаем найти определитель матрицы.

Как найти определитель матрицы 2,3 порядка

Например, определитель матрицы `3xx3` записывается как `det M = |M| = Delta M = |[M_(11), M_(12), M_(13)],[M_(21), M_(22), M_(23)],[M_(31), M_(32), M_(33)]|` Определитель квадратной матрицы 2х2 равен произведению элементов, находящихся на главной диагонали минус произведение элементов, находящихся на побочной диагонали.

  • Например, рассмотрим следующую матрицу: `A = |[a_(11),a_(12),a_(13)],[a_(21),a_(22),a_(23)],[a_(31),a_(32),a_(33)]|` Элементы матрицы, находящиеся на главной диагонали и элементы, находящиеся в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (на рисунке 2 эти элементы соединены красными линиями) – следует перемножить и взять со знаком плюс (` `).
  • Элементы матрицы, находящиеся на побочной диагонали и элементы, находящиеся в вершинах треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (на рисунке 2 эти элементы соединены синими линиями) – следует перемножить и взять со знаком минус (`-`).
  • Итоговая формула для расчета определителя матрицы `3xx3` имеет вид: `det A = a_(11)*a_(22)*a_(33) a_(12)*a_(23)*a_(31) a_(21)*a_(32)*a_(13) -` `- a_(13)*a_(22)*a_(31) – a_(21)*a_(12)*a_(33) – a_(32)*a_(23)*a_(11)` Формулу можно немного упростить, если вынести некоторые элементы за скобки: `det A = a_(11)(a_(22)a_(33)-a_(23)a_(32)) – a_(12)(a_(21)a_(33)-a_(23)a_(31)) ` ` a_(13)(a_(21)a_(32)-a_(22)a_(31))` Пример.

Обработка информации о пользователях Мы обрабатываем ваши персональные данные исключительно для: – организации Вашего участия в мероприятиях и опросах, организованных нами и нашими партнерами; – коммуникации с вами, когда вы обращаетесь к нам, например, для получения консультационной поддержки.

Этот калькулятор поможет Вам вычислить определитель, разложив его по строке или столбцу, либо предварительно получив нули в строке или столбце.

Нахождение определителя матрицы методом треугольника

Детерминант будет вычислен с выводом промежуточных результатов.

Для вычисления определителя третьего порядка, допишем два первых столбца и перемножим диагональные элементы, взяв произведение со знаком «плюс», если диагональ является главной или параллельна её и, взяв произведение со знаком «минус», если диагональ является побочной или параллельной ей, получим По правилу Саррюса, необходимо справа от вычисляемого определителя записать первые два столбца этого определителя и перемножить диагональные элементы.

Взяв эти произведения с соответствующими знаками, получим, что искомый определитель третьего порядка равен Для вычисления определителей высших порядков, используется способ разложения определителя по строке или столбцу.

Матрица Паскаля — Википедия

Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

При этом вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка.

  • Приведем этот определитель с помощью элементарных преобразований к верхнему треугольному виду.
  • Для этого ко второй, третьей и четвертой строкам прибавим первую, умноженную, соответственно, на 2, 3 и 4.
  • Данный онлайн калькулятор вычисляет определитель матрицы.
  • Для вычисления определителя матрицы выбирайте порядок (размер) квадратной матрицы.

Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt(). Также, если в матрице имеется два пропорциональных столбца или две пропорциональные строки, тогда определитель тоже равняется .

Если в матрице два одинаковых столбца или строк, в этом случае определитель тоже равняется .

Если у матрицы хотя бы один из рядов или столбцов равняется нулю, тогда и определитель равен .

Он появляется в стационарной версии программы GG, если вы нажмете на кнопку “с треугольником” справа от строки ввода в нижней части основного окна (см.рисунок ниже).

Определитель может быть только в квадратных матрицах.

Определитель матрицы 2×2, 3×3, 4×4

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления определителя (детерминанта) матриц, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на транспонирование матриц, а также закрепить пройденный материал.

  • Попробуйте онлайн калькуляторы с матрицами Онлайн калькулятор.
  • Обратная матрица методом алгебраических дополнений.
  • С помощью этого калькулятора вы сможете: получить определитель матрицы, её ранг, возводить её в степень, найти сумму и произведение матриц, вычислить обратную матрицу.
  • Заполните поля для элементов матрицы и нажмите соответствующую кнопку.

Вы смотрите ролик Вычисление определителя матрицы 3х3 (Второй способ) я надеюсь что вам понравиться данное видео и Вы его оцените.

Определитель матрицы онлайн

Также я буду рад по читать ваши комментарии к Вычисление определителя матрицы 3х3 (Второй способ) смотреть онлайн.

  • Подписываетесь, рассказывайте друзьям и вы всегда будете в курсе новых видео роликов!
  • В данном видео показано, как вычислить определитель матрицы третьего порядка.
  • Алгебраическое дополнение и минор будут одинаковыми при четной сумме номеров строки и столбца.
  • Если сумма номеров является нечетным числом, то они будут различаться знаком.

В прямоугольных матрицах количество строк не равно количеству столбцов.

В этом случае минором k-го порядка матрицы A, состоящей из m строк и n столбцов, является определитель с элементами, находящимися на пересечении k строк и k столбцов матрицы.

При этом, k ≤ m и k ≤ n С помощью онлайн калькулятора вы сможете быстро рассчитать значение минора.

Треугольная матрица — Википедия

При решении сложных систем уравнения большую роль играет определитель матрицы или детерминант матрицы.

Это — важнейшая численная характеристика квадратной матрицы, используемая при решении многих задач.

Определитель 4 порядка. Калькулятор

Нахождение определителя матрицы методом треугольника

Определители четвертого и старших порядков возможно вычислять по упрощенным схемам, которые заключаются в разложении по элементам строк или столбцов или сведении к треугольному виду. Оба метода для наглядности будут рассмотрены на матрицах 4-го порядка.

Метод разложения по элементам строк или столбцов

Первый пример мы рассмотрим с подробными объяснениями всех промежуточных действий.

Пример 1. Вычислить определитель методом разложения.

Решение. Для упрощения вычислений разложим определитель четвертого порядка по элементам первой строки (содержит нулевой элемент). Они образуются умножением элементов на соответствующие им дополнения (образуются вычеркивания строк и столбцов на пересечении элемента, для которого исчисляются – выделено красным)

В результате вычисления сведутся к отысканию трех определителей третьего порядка, которые находим по правилу треугольников

Найденные значения подставляем в выходной детерминант

Результат легко проверить с помощью матричного калькулятора YukhymCALC . Для этого в калькуляторе выбираем пункт Матрицы-Определитель матрицы, размер матрицы устанавливаем 4*4.

Далее вводим же матрицу и осуществляем вычисления. Результатом расчетов будет следующий вывод данных

Результаты совпадают, следовательно вычисления проведены верно.

Пример 2. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка.

Решение.

Как и в предыдущем задании осуществим вычисления методом разложения. Для этого выберем элементы первого столбца. Упрощенно определитель можно подать через сумму четырех детерминант третьего порядка в виде

Далее переходим к отысканию определителей по правилу треугольников

Вычисления не слишком сложные, главное не напутать со знаками и треугольниками. Найденные величины подставляем в главный определитель и суммируем

Результат проверяем матричным калькулятором YukhymCALC . Правильность расчетов подтверждается следующим рисунком

Метод возведения определителя к треугольному виду

Данный метод позволяет ряд определителей вычислить достаточно быстрый способ. Суть его заключается в объединении определителя к треугольному виду, при этом следует учитывать все множители на которые увеличиваем или уменьшаем строки и учете при конечных расчетах. Из данного определения Вы ничего для себя не поймете, поэтому лучше все показать на конкретных примерах.

Пример 3. Найти определитель матрицы сведением к треугольному виду

Решение.

Сначала осуществляем математические манипуляции, чтобы получить все нулевые элементы кроме первого в первом столбце. Для этого от второй строки вычитаем первый, умноженный на два. В результате получим

Далее есть два варианта: от третьей строки вычесть первый умноженный на три, или от третьего вычесть сумму первых двух строк. Последний вариант позволит получить сразу два нуля в строке, его и выбираем

Дальше целесообразнее от четвертой отнять удвоенную вторую строчку. В результате элементарных преобразований определитель примет вид

Осталось превратить в ноль один элемент в третьем столбце. Для этого от четвертой строки вычитаем удвоенную третью в предварительно записанном определителе

По свойству, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

По желанию можно проверить результат матричным калькулятором.

В этом примере никаких умножений строк, в которых зануливали элементы мы не выполняли, поэтому полностью раскрыть метод на этом примере не получилось.

Рассмотрим более сложный.

Пример 4.

Найти определитель матрицы 4-го порядка

Решение.

Элементарными преобразованиями сводим определитель к треугольного вида. Для этого от каждой строки вычитаем первый. В результате преобразований получим следующий детерминант

Для удобства вычислений, меняем третью строчку со вторым местами..

По свойству определителей любая замена строк местами ведет к изменению знака определителя. Учитываем это в некотором множителе k=-1.

От третьей строки вычитаем второй, умноженный на минус три. После упрощений получим

Превращаем в ноль последний элемент во втором столбце, для этого вычитаем вторую строчку умноженный на 2.

Результат будет следующим

От удвоенного четвертой строки вычитаем третий. По свойству, умножения строки на постоянную а ведет к изменению определителя в а раз. Данное изменение фиксируем в множителе k=-1*2=-2.

Окончательное значение определителя будет равно произведению диагональных элементов разделенных (или нормированных) на множитель k, который отвечает за изменение детерминанта при элементарных преобразованиях. Выполняем вычисления

Проверка матричным калькулятором подтверждает правильность производимых вычислений.

Метод разложения определителя по элементам строк или столбцов достаточно быстрым при исчислении определителей больших размеров. Метод сведения к треугольного вида эффективен, если элементарные преобразования легко проследить и не приводят к большим произведений.

В других случаях нужно пользоваться комбинацией этих методов, в последнее образовывать как можно больше нулевых элементов, а методом разложения по строкам или столбцам уменьшать количество выполненных операций.

Это позволит без проблем вычислять определители третьего, четвертого и даже пятого порядка.

Источник: http://yukhym.com/ru/matritsy-i-opredeliteli/opredelitel-4-poryadka-kalkulyator.html

Найти определитель матрицы методом Гаусса

Нахождение определителя матрицы методом треугольника

Определитель матрицы – это число, являющееся её параметром-характеристикой. Через определитель выполняются многие действия, связанные с матрицами, например, поиск неизвестных из систем уравнений и не только.

В этой статье рассказано про получение определителя методом Гаусса, также иногда такой способ называют понижением порядка определителя. Помимо приведённого здесь способа также детерминант можно сосчитать через миноры или используя правила Саррюса и треугольников.

Свойства определителя квадратной матрицы

  1. Определитель транспонированной матрицы $AT$ равен определителю матрицы $A$:$|AT| = |A|$
  2. Определитель квадратной матрицы с нулевой строчкой или столбцом равен нулю.
  3. Перемещая какие-то строчки или столбцы матрицы на места друг друга, знак определителя изменится на противоположный.
  4. Наличие одинаковых строчек, или таких строчек, которые станут одинаковыми после вынесения коэффициента, делают её определитель нулевым.
  5. При умножении членов какой-то матричной строчки или столбца $A$ на некий коэффициент $k$, определитель новой полученной матрицы является определителем произведения $A$ и $k$.
  6. При сложении членов матрицы $A$, находящихся на одной строчке (или в одном столбце) с элементами другой её строчки или столбца, помноженными на некое число $k$, не равное нулю, определитель полученной матрицы будет иметь то же значение, что и определитель матрицы $A$.
  7. Определитель некой матрицы $A$ равен сумме произведений членов какой-либо строчки или столбца на её алгебраические дополнения.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Алгоритм для подсчёта детерминанта методом Гаусса

Чтобы найти определитель матрицы методом Гаусса, необходимо:

  1. Привести матрицу к верхнетреугольной или нижнетреугольной форме используя разрешённые над матрицей преобразования, называемые также элементарными.
  2. Сосчитать произведение всех членов матрицы, принадлежащих главной матричной диагонали полученной треугольной матрицы (эта диагональ проходит слева-направо сверху-вниз). При осуществлении подсчётов для вычисления определителя матрицы методом Гаусса нужно помнить, что при перестановке строчек или столбцов необходимо поменять знак детерминанта в конце решения на противоположный.

Замечание 1

Важно: не следует умножать или делить отдельные строчки матрицы на какие-либо числа во время процесса вычисления, так как это изменит итоговое значение. В случае же если всё же домножили строчку матрицы на какой-либо коэффициент, не забудьте вынести его обратное значение как множитель перед матрицей и домножить на это число итоговый ответ.

Пример 1

Найти определитель матрицы методом Гаусса.

$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 &2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{array} \right)$

Переставляем верхнюю и третью строчки и выносим знак минус после перестановки:

$A = – \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 &2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 &2 \end{array} \right)$

Затем умножаем первую строчку на $3$ и вычитаю из второй:

$A = – \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0& 1 & -4 \\ 0 & 1 &2 \\ \end{array} \right)$

Вычитаем из третьей строчки вторую:

$A = – \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0& 1 & -4 \\ 0 & 0 &6 \\ \end{array} \right)$

Полученная матрица является нижнетреугольной, следовательно, теперь можно сосчитать её детерминант:

$det(A) = – ( 1 \cdot 1 \cdot 6) = -6$

Пример 2

Примените метод Гаусса для вычисления определителя матрицы 4 порядка:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$

Сделаем перестановку крайнего столбца с последним и третьего столбец со вторым. Это не изменит знак конечного значения определителя, так как смена позиций применяется дважды:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$

Вычитаю из первой строчки вторую:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 3 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$

Складываю умноженную на $3$ верхнюю строчку со второй:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$

Прибавляю к предпоследней строке вторую:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array} \right)$

Прибавляю к нижней строчке предпоследнюю:

$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & -1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \\ \end{array} \right)$

Матрица стала треугольной, теперь найдём её детерминант:

$det(A) = 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 12 = 12$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/metod_gaussa/nayti_opredelitel_matricy_metodom_gaussa/

Книга Права
Добавить комментарий